Units – MATH for SEALs and NERDs only

Unit 1 – Eine Phantasiereise vom Babylon \(\sqrt{2}\) Algorithmus zum RSA Code
Die ca. 3800 Jahre alte Keilschrifttafel YBC (Yale Babylonian Collection) 7289 zeigt, dass die babylonischen Mathematiker in der Lage waren, die näherungsweise numerische Berechnung von \(\sqrt{2}\) mittels der 4 arithmetischen Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchzuführen. Sie erhielten \(\sqrt{2} = \)1.41421. Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von \(\sqrt{2}\) überein: \(\sqrt{2} = \)1.414213562373095048801688724209698078569671875
Wie konnten die babylonischen Priester-Mathematiker ein solches Problem lösen?
→Unit 1
→Nocturne zu Unit 1
→Unit 1 Supplement 1
→Unit 1 Excavation 2
→Unit 1 Supplement 2

Unit 2 – Creative formula manipulation
Creative formula manipulation is based in a large part on mastering the dialectic between freedom and determination in arithmetic:

Freedom:
- Commutative and associative laws of addition and multiplication are the basis for a free arrangement and re-arrangement and free structured bracketing of operands.
- Free and creative use of the two directions of the identity laws and its derivatives\(
  \begin{align*}
  a+0 &= a\\\
  a-a&=0\\\
  a*1&=a\\\
  \frac aa &=1\\\
  a*0&=0\\\
  (-1)*(-1)&=1
  \end{align*}\)is the basis for insertion –> extension and for reduction.
Determination:
- Distributive law of multiplication with respect to addition
- Priority law + < * < ^ .

Example 1	Power sums and Pascal’s triangle
Example 2	The bidirectional star-delta conversion, a standard problem of electrical system analysis
Example 3	A story about the first take-off of the young dragon Carl Friedrich Gauss and more
Example 4	Differential calculus
Example 5	Problemlösungstechniken
Example 6	Formula manipulation is an essential part of algorithm design Classical and fast multiplication of natural numbers by hand

→Unit 2

Unit 3 – The algorithm system „Signa in silico“: computer graphics, and applications in the areas of design and engineering
The algorithm system Signa in silico (AsSis), mimicking aspects of biological gene expression, generates a broad variety of computer graphics. The achievable pattern, color, and texture diversity is in many respect comparable with the biodiversity.

AsSis generates two-dimensional black/white or colored patterns as polygons (sequence of connected line segments of different length) or pixel arrays. An input sequence, the “genome” triggers an i.g. multistage recursive “expression” process that is controlled by scaling parameters and coupling functions.

Unit 4 – Ein Sandkastenspiel
Zu umkreisendes Problem: Unter welchen Bedingungen kann eine Nullstelle/ können Nullstellen/ können alle n Nullstellen eines reellen Polynoms n-ten Grades in x durch einen reellen Ausdruck in seinen Koeffizienten allein mittels der vier arithmetischen Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, ohne Wurzeloperationen, dargestellt werden und wie; alles möglichst simple and beautiful?
→Unit 4

Unit 5 – Small creative algorithmic finger exercises in the style of J.S. Bach’sWell-Tempered Clavier (composed “for the profit and use of musical youth desirous of learning, and especially for the pastime of those already skilled in this study”)
5.1 Eadem mutata resurgo
Find a simple and fast algorithm for the numeric calculation of \(x = \sqrt{2} + \sqrt{3} = 3.1462643 \ldots \)
5.4 Selbstkorrektur?
Wir betrachten die “innere Struktur“ der Dezimaldarstellung transzendenter mathematischer Konstanten \(e = 2.718281828\ldots \, \pi = 3.141592654 \ldots\) etc. Ist hier eine Verfälschung

einer Digitalstelle (Einfachfehler)
von k aufeinanderfolgenden Digitalstellen (Bündelfehler)

in beliebiger Position mittels eines Algorithmus, der allein die der Fehlerstelle\n benachbarten Dezimalstellen als Input einbezieht,

erkennbar
korrigierbar?

Mit anderen Worten: enthalten diese Konstanten in Dezimaldarstellung einen verteilten Selbstkorrekturmechanismus (vgl. fehlerkorrigierende Kodes in Informatik und Nachrichtentechnik; Selbstreparatur im genetischen Kode)?
Konstruieren Sie eine infinite Dezimalzahl, bei der für alle Stellen eine solche Einfehlerkorrektur mit Sicherheit realisiert werden kann.
→Unit 5

Unit 6 – Series and triangular determinants.

6.1 Pascal triangular determinants and the sums of powers of integers
6.2 Triangular determinants and powers of infinite power series

→Unit 6

Unit 7 – Under the roof of the 2by2 matrix chain product. An attempt of a synopsis.
A multitude of computing, representation, and transformation problems, e.g.:

extended Euclidean algorithm,
solution of the linear Diophantine equation,
transformation of a continued fraction into a common fraction,
representation of elementary functions by infinite 2by2 matrix chain products,
Horner scheme,
transformation of a nested expression into a common fraction,
Euler transformation of a polynomial into a continued fraction,
encoding and decoding in the 2by2 reduced Pythagorean triple tree,
electrical two-port network analysis and synthesis
decomposition of 2by2 coupling, chain, coding, … matrices into “atomic matrices”,
- can be transformed into a 2by2 matrix chain product representation m domain,
- can be so considered as structurally similar problems,
- and can be uniformly and simpler handled as in the original domain (compression/merging of neighboring matrix groups to a product-matrix, decomposition into factor-matrices, regrouping, transformation, tuning, window and parallel processing…).

→Unit 7
→Unit 7, special 1

Unit 10 – Wirbel
In einer Rinne mit rechteckigem Querschnitt strömt Wasser mit der Fließgeschwindigkeit v.

Fügen Sie eine möglichst einfache „wasserbauliche“ Konstruktion (vgl. [1,2,3]) in diese Rinne ein, so dass in ihr ein steuerbarer stabiler freier Wirbel [4,5,6,7,8] entsteht; steuerbar bezüglich Position, Größe, Intensität, Rotationsgeschwindigkeit, Modulation, … In kleinen Bächen kann man häufig verschiedene natürliche wirbelerzeugende Anordnungen der gesuchten Art beobachten.
Experimentieren Sie mit Ihrer Konstruktion (vgl. [2,3]).
Geben Sie ein mathematisches Modell und ein damit korrespondierendes „elektrisches Analogon“ (vgl. [9,2,3,10]) Ihrer Konstruktion an. Wirbel der vorgenannten Art sind in der Natur
Stoffsammler (Attraktoren), vgl. [11] und
Stofftrenner [12].

→Unit 10

Unit 11 – Places of interest near Benford`s Law
Benford’s law (first digit law) is the mathematical representation of the phenomenological observation that in large data sets of decimal numbers describing a wide variety of similar real objects, systems, and processes, like

length of rivers or surfaces of lakes in a country
population number of towns and cities in a country and other demographic data
electricity and water bills etc. the leading digit kÎ{1,2,3,…,9} is non-uniform distributed. Surprisingly, we find similar non-uniform distributions of the numbers 0, 1, 2, …, 9 also in pure mathematical objects and problems.

→Unit 11
→Unit 11, new

Unit 12 – Ein Oldie
Rund um den Kugelkondensator
→Unit 12.A
Andocken an den Kugelkondensator
→Unit 12.C
Verzweigte Kettenbrüche
→Unit 12.D
→Unit 12.D Version 2

Unit 14 – Chain fountain variations
Please read the paper and watch the associated video!
→Unit 14

Unit 16 – A collection of ideas and material for a system theory of self-running phenomena
→Unit 16

Unit 16 reloaded – A collection of ideas and material for a system theory of self-running phenomena
→Unit 16 reloaded

Unit 17 – Und, wozu ist das gut? Ein Primzahl Chat
→Unit 17

Unit 18 – Is it possible to booster the productive power of the classical differential calculus by suitable extensions?
An open end for further discussion.
→Unit 18
→Unit 18 Supplement 1

Unit 19 – Computational geometry”
A synoptic shortened determinant representation of area, perimeter, centroid, momentum of inertia, etc. of a 2D polygon given by the Cartesian coordinates of its vertices. Lecture given at the Sichuan University, Chengdu Yangtze Center of Mathematics A problem-oriented 2D/3D notation system for applications in computational geometry, mechanics and other engineering fields: 2D shortened determinant, 3D data cylinder.
→Unit 19
→Unit 19.1
→Unit 19.2.5

Unit 20 – An extension of the differential calculus quotient rule and beyond
Talk at the Sichuan University, Chengdu Mathematical Department Yangtze Center of Mathematics The talk – part of a lecture course on Algorithm Engineering -presents an application-oriented attempt of a synopsis of the dc product, quotient, and chain rule extensions based on:

the normalized differential operator notation
a resulting two-dimensional formula representation by matrices and determinants without numeric coefficients including
Faa di Bruno’s formula,
an extended Newton’s root finder,
Taylor series representation of fractional functions,
solution of linear differential equations, esp. applications in electrical engineering,
a zoo of reciprocals of the factorial determinant patterns,
sum of powers of natural numbers,
polynomial handling, esp. a rational roots finder (wormholes through the irrationality).

→Unit 20

Unit 23 – Pick variations
“The core of the creativity is the ability to perceive something in a new way.”
→Unit 23

Unit 24 – CoPick
→Unit 24

Unit 25 – CoPick – Continuation of Unit 24
→Unit 25

Unit 26 – Euklidischer Algorithmus, Kettenbruchentwicklung, Euklid-Kode
→Unit 26

Unit 29 – Schwarz-Weiß-Muster aus reellen Zahlen
→Unit 29

Unit 30.1 – Mathematical analogues to maritime monster waves.
Part 1 – Monster waves analogues in simple continued fractions
Wikipedia: Monster Waves (en) / Monsterwelle (de)
The simple continued fraction (scf) is a very efficient tool to analyze the “inner discrete (wave) structure” of mathematical constants and functions, f.e. \( e = 2.7182818284 \ldots = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1,\ldots] \). But the scf representation is also a tool to model “monster waves” (huge signals; local-temporal energy monster impacts/lines/bullets) in a background of “calm sea” (small noise).
→Unit 30.1

Unit 31 – Collatz-Automat – Automateneinbettung eines Algorithmus
Der Begriff ”deterministischer Automat” (dA) ist entstanden als abstraktes Modell realer diskontinuierlich (zeitdiskret, getaktet) und determiniert arbeitender informationeller Systeme mit Eingabe-, Ausgabe-, Verknüpfungs- und Speicherelementen als Träger informationeller Prozesse.
Der dA ist zugleich aber auch ein Notierungssystem mit integrativem, konstruktivem und heuristischem Charakter für eine beträchtliche Anzahl von Algorithmen.
→Unit 31
→Unit 31 Supplement 1
→Unit 31 Supplement 2
→Unit 31 Etude zu Supplement 2

Unit 32 – Hydraulic RAM
→Unit 32

Unit 37 – Triangle Centers
→Unit 37

Unit 38 – A 3-7-Safari
→Unit 38

Unit 42 – A Math Fleet on the “Pascal´s Triangle and Determinant Patterns of Reciprocals of Factorials” Sea
“Heavier-than-air flying machines are impossible.”
– Lord Kelvin, president of Royal Society (1895)

Pascal´s triangle (PT) and determinant patterns of reciprocals of factorials (DPRF) are 2D mathematical objects that cast a long shadow.
Here is shown the connection of PT with structured sums of powers of integers and with Pi squared.

→Unit 42

Unit 44 – Konvergenzverbesserung: Unterwegs zum Gipfel \(\sqrt{2}\)
Unter den Möglichkeiten zu numerischen Berechnung von \( \sqrt{2} \) erscheint die folgende Matrizendarstellung

aus systematischer Sicht,
mit dem Ziel: Extension hin zu immer besserer Konvergenz

von besonderem Interesse. \( \left(\begin{array}{c}u(t)\\v(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1&2\\1&1\end{array}\right)^t\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right); t=0,1,2,\ldots\\ \lim_{t\to\infty}\frac{u(t)}{v(t)}=\sqrt{2} \)
→Unit 44

Unit 47 – Matrix algorithms for analysis and synthesis of binary relations R on a set M
Extensions and applications in the field of mathematics, computer science and algorithm engineering.
→Unit 47

Unit 50 – Mittelwertautomaten

50.1 Mittelwerte und Mittelwert-Algorithmen, historische Reflexionen
50.2 Deterministischer Automat
50.3 Mittelwertautomaten

→Unit 50

Unit 51 – Multiple – argument formulas of the trigonometric/hyperbolic functions, esp. tangent, in different representations.
Find more.
→Unit 51
→Nachtrag 1 zu Unit 51
→Nachtrag 2 zu Unit 51

Unit 53 – Euclidean compact and beyond
→Unit 53
→Unit 53, Supplement 1
→Unit 53, Supplement 2
→Unit 53, Supplement 3
→Unit 53, Supplement 5
→Unit 53, Supplement 6

Unit 56 – Homage to Camelot
Excavation of patterns, ornaments, symbols, architectural elements of former, of ancient cultural areas from the “archetype memory” by use of algorithmic tools.
→Unit 56

Unit 57 – Guilin Étude No.1
Pythagorean ternary coding algorithm and beyond
→Unit 57

Unit 60

A collage, first drawing
Controllable recursive decomposition of a number into two summands/factors

→Unit 60

Unit 61 – A determinant-based Maclaurin series and infinite continued fraction representation of real functions \(f(x)\), esp. \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\)
\(f(x)\) is a real analytic function represented by an equation. \( F^{(i)} = \frac{f^{(i)}(0)}{i!} ; i=0,1,2,3,… ; F^{(0)}=F=f(0) \quad (1) \)
denotes the normalized i-th derivative of \(f(x)\) evaluated at \(x=0\). The present talk shows the possibility of a reversible, consistent determinant and equ. (1) based Maclaurin series and infinite continued fraction representation of \(f(x)\), esp. of \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\). Find the keystone.
→Unit 61

Unit 62 – 3D printing provokes the development of 3D linear algebra
→Unit 62
→Unit n°62 Supplement
→Unit n°62 Supplement 2
→Unit n°62 Supplement 3

Unit 63 – Differential calculus – The ProQuo rule in determinant representation
→Unit 63

Unit 64 – Comparative determinant representation of the polynomial \(p_n(x)=\sum_{i=1}^n a_i x^i\) and of its operations
→Unit 64

Unit 64 Part 1 – Emmathicons
A lot of emoticons are used for all different occasions during internet communication.
Our idea is now by analogy with emoticons to create “emmathicons”, small
icons [1,2], especially for mathfans’ communication but also as a

gummy bears learn booster for pupils
active synesthetic memory aid [3]
graphic vehicle for mnemonic-oriented compact representation of math formulas, theorems, conjectures, etc.

Here you can see our first trials.
Maybe they can inspire you to follow us with your own graphically more convincing creations; graphic shell and text as a perfect calligraphic unity, see [4,5].
→Unit 64 Part 1
→Unit 64 Part 2
→Unit 64 Part 3
→Unit 64 Part 4

Unit 66 – Extension of Unit 5, part 5.1 Eadem mutata resurgo
→Unit 66
→Unit 66 Supplement 1
→Unit 66 Supplement 2
→Unit 66 Supplement 3
→Unit 66 Supplement 4

Unit 67 – A GUET scf story
→Unit 67

Unit 68 – E to the Pi
→Unit 68

Unit 69 – Memory of a great time
→Unit 69

Unit 70
→Unit 70 (dt. version)
→Unit 70.11

Unit 71 – Hydrodynamik in der Dresdener Heide
→Unit 71

Unit 72 – Nachbereitung zum Alumni-Seminar der Roland Berger Stiftung
→Unit 72 part 1
→Unit 72 part 2

Unit 73 – Problem n => \(\left(\begin{array}{c}m\\k\end{array}\right) \)
→Unit 73

Unit 75 – e hoch x und co. D
→Unit 75.1
→Unit 75.2
→Unit 75.33
→Unit 75.44
→Unit 75.5

Unit 77 – Es geht doch!
→Unit 77

Unit 78 – gcd(a,b) → gd(a)
You know the sound of two hands clapping; tell me, what it the sound of one hand?
– Hakuin Ekaku (1686 – 1768)
→Unit 78

Unit 79.3 – An e-conjecture
Basierend auf einer begrenzten Anzahl von positiven Beispielen formulierte Vermutung:
Jeder endliche algebraische Term \(T_e\) , der \(e\) und natürliche Zahlen enthält, lässt sich durch einen unendlichen einfachen Kettenbruch (vgl. Unit 30.1) darstellen
\(scf(T_e)=[a_0;a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,…].\)
→Unit 79.3

Unit 80 – Prime Triptych
Man stelle sich vor, das „Primzahlerzeugungsproblem“ sei computergerecht gelöst:

Es sei ein Bildungsgesetz für die Primzahlsequenz 2,3,5,7,11,13,17,… gefunden, mit dem diese in beliebiger Länge, vielleicht sogar mit polynomialer Zeitkomplexität, generiert werden kann.
Und es existiere ein ebensolcher Algorithmus zur separaten Berechnung der n-ten Primzahl. Alles aus einem Guss.
Welche Auswirkungen würde das in den Naturwissenschaften und in der Technik (speziell IT und ET) haben?
Das wäre eine generative Grammatik der Primzahlen. Ließe sich daraus eine erkennende Grammatik der Primzahlen herleiten?

→Unit 80

Unit 81 – Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel von Primzahlnachbarn
→Unit 81

Unit 82 – A Maxwellian bomb?
Ist es im Rahmen der klassischen Elektrodynamik (Maxwellsche Gleichungen und Lorenzkraft) möglich, mittels eines Senders im Punkt A via elektromagnetische Wellen bei geeignet strukturiertem Zeitverlauf von Energieabstrahlung, Richtcharakteristik, Polarisation, etc. in einem zweiten passiven Punkt B ein kugelförmig abgegrenztes stabiles elektromagnetisches „Energiedepot“ zu erzeugen und dabei eine zeitabhängige Energieabgabe aus diesem Depot zu steuern:

EMP bei t_emp
dosierte und gerichtete Energieabgabe, auch über physikalische Sekundäreffekte, z.B. zur Beeinflussung von Wettererscheinungen, biologischen, biochemischen oder technologischen Prozessen in der unmittelbaren Umgebung ?

→Unit 82 Part 1

Unit 83 – Number theoretic finger exercises to train creative thinking
→Unit 83.1
→Unit 83.2
→Unit 83.3

Unit 84 – Divide et impera
→Unit 84

Unit 85 – Fieldtheoretical finger exercises to train creative thinking and to promote imaginative engineering
→Unit 85.1

Unit 86 – Contribution to Unit 83.3.6
→Unit 86

Unit 87 – Primzahlfolge
→Unit 87

Unit 88 – Variations on the continued fraction expansion
→Unit 88

Unit 90 – Aus der „Schülerinformatik“ vor 20 Jahren Baustein 1 “Rhapsodie in sqr(2) [23]”
→Unit 90

Unit 91 – Ein Wasserspiel / A water feature
In einem halbrunden gefüllten Regenwasserbecken befindet sich mittig bei B ein senkrecht stehendes Überlauf-rohr, Durchmesser 15 cm.
Bei A fällt pro Sekunde ein Wassertropfen in das Becken und erzeugt dort Oberflächenwellen.
→Unit 91

Unit 93 – Abenteuer in Sichuan, in alter Zeit
Ein Kryptos mit einem in sich konsistenten Oberflächentext. Finde den darin kodierten „mathematischen Klartext“.
→Unit 93

Unit 100 – Real polynomials and their properties,determinant representation
→Unit 100, corrected and extended

Unit 101 – \(e^\pi \) algorithmics
→Unit 101

Unit 102 – Aus gegebenen Anlass – Ein kleines mathematisches Versteckspiel / For given reason – A small mathematical hide-and-seek
→Unit 102
→Unit 102 Supplement 1

Unit 103 – \(e^\pi \) algorithmics continuation 1
→Unit 103

Unit 105 – Variations on “\(e^\pi \) algorithmics”, Units 101 and 103
→Unit 105

Unit 117 – e, fib(i), Ф, and more; Bessel versus Tangent functions
→Unit 117
→Unit 117, cont 1
→Unit 117, cont 2
→Unit 117, cont 3
→Unit 117, cont 4

Unit 123 – Analyze the sequence of palindromes
→Unit 123

Unit 125 – Prime+semiprime counting function
→Unit 125

Unit 126 – cos and nested radicals
→Unit 126

Unit 127 – Aus der “Schülerinformatik” vor 20 Jahren [127] Damalige
→Unit 127

Unit 135 – With all-wheel drive to \(\pi^2 \)
→Unit 135
→Unit 135, part 3
→Unit 135, part 3, appendix 2
→Unit 135, part 3, appendix 3

Unit 136 – Determinant patterns
→Unit 136

Unit 136 – Determinant patterns
→Unit 136 supplement 1

Unit 137 – Algorithmische Fingerübungen
→Unit 137

Unit 138 – Algorithmic finger exercises
→Unit 138